O vídeo The Coin Flip Game that Stumped Twitter: Alice HH vs Bob HT propõe uma questão muito interessante. Dois jogadores, chamados Alice e Bob, disputam um jogo. As regras deste jogo são as seguintes:

  1. Suponha que uma moeda honesta é lançada 100 vezes em sequência;

  2. Alice marca um ponto para cada Cara-Cara (HH) que ocorrer dentro da sequência;

  3. Bob marca um ponto para cada Cara-Coroa (HT) que ocorrer dentro da sequência.

A pergunta deste experimento é simples:

Quem tem mais chances de ganhar depois destes 100 lançamentos? Alice ou Bob?

Para ficar claro como ocorre a pontuação do jogo, vamos com um exemplo. Por simplicidade, suponha que a moeda é lançada 5 vezes, com resultado THHHT. Neste caso, Alice marca 2 pontos e Bob 1. Afinal, são quatro sequências de dois lançamentos possíveis em THHHT, destacadas em negrito a seguir:

  1. THHHT: ninguém pontua

  2. THHHT: Alice pontua

  3. THHHT: Alice pontua

  4. THHHT: Bob pontua

Portanto, Alice faz dois pontos, enquanto Bob faz um. Desta forma, refaço a pergunta:

Quem tem mais chances de ganhar depois destes 100 lançamentos? Alice ou Bob?

Pense um pouco em sua resposta antes de prosseguir a leitura. Tente justificá-la de forma lógica antes de conferir meus resultados.

Para resolver o problema com 100 lançamentos, eu escrevi um código no R, que simula o lançamento de 100 moedas 10 mil vezes. A função sequência serve justamente para determinar a pontuação de Alice e Bob para cada sequência de lançamento de moedas de tamanho arbitrário.

pontos <- function(sequencia) {
  n <- nchar(sequencia)
  
  # crie um vetor com todos os subvetores de tamanho 2
  
  vetor <- substring(sequencia, 1:(n-1), 2:n)
  
  # calcule as quantirades de "HH" e "HT"
  
  alice <- sum(vetor == "HH")
  bob   <- sum(vetor == "HT")
  
  return(c(alice, bob))
}

Em seguida, testo este código na sequência do exemplo e obtemos o resultado esperado.

sequencia <- "THHHT"

pontos(sequencia)

## [1] 2 1

A partir daqui, rodo a simulação e organizo seus resultados.

repl <- 10000

resultado <- data.frame(alice = NA, bob = NA)

for (j in 1:repl){
  sequencia <- paste(sample(c("H", "T"), 100, replace = TRUE), collapse = "")
  
  resultado[j, ] <- pontos(sequencia)
}

Ao visualizá-lo, vemos que é possível, com histogramas, verificar que há diferenças marcantes entre os resultados de Alice e Bob:

resultado |> 
  pivot_longer(c(alice, bob), names_to = "jogador", values_to = "vitorias") |> 
  mutate(jogador = ifelse(jogador == "alice", "Alice", "Bob")) |> 
  ggplot(aes(x = vitorias, fill = jogador)) + 
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), 
                 binwidth = 1, position = "identity",
                 alpha = 0.6) + 
  labs(x = "Número de Vitórias", y = "Probabilidade", fill = "Jogador") + 
  scale_fill_viridis_d()

  • Os resultados de Alice possuem uma variabilidade maior;

  • Os resultados de Bob atingem o ponto de máximo em um valor ligeiramente maior do que Alice.

E, de fato, se calcularmos as proporções de vitória de cada jogador, temos a seguinte tabela:

resultado |> 
  summarise(vitoria_alice = sum(alice > bob) / n()*100,
            vitoria_bob   = sum(alice < bob) / n()*100,
            empate        = sum(alice == bob) / n()*100)

##   vitoria_alice vitoria_bob empate
## 1         45.78        48.6   5.62

Portanto, é mais vantagem em um jogo como este contar com os resultados HT do que HH.